Alors que les formes générées par une triple rotation sont assez répétitives à part le triangle de Sierpinski, les formes générées par trois rotations aléatoires sont autrement plus riches en surprises. En voici quelques exemples où plusieurs formes sont parfois rassemblées sur la même image pour simplifier la mise en ligne. Une animation devrait bientôt arriver pour voir comment évoluent ces machins lorsqu'on fait varier les paramètres. Encore merci à Processing de rendre les choses aussi faciles !

Voilà ce qu'il peut se passer lorsque vous lancez Processing alors qu'un lecteur vidéo Flash est déjà en train de tourner. C'est plutôt bizarre puisqu'aucun des deux ne plante, mais que l'interface Processing essaie d'afficher la vidéo et que le mode plein écran du lecteur Flash ne fonctionne plus... Etrange.

Décidément, ce qui se voulait être juste un hommage ponctuel à Benoit Mandelbrot commence à prendre l'allure d'une enquête échevelée ! Dans l'article sur les premières images de la double rotation homothétique, on avait vu que certaines formes avaient un air de déjà vu. Certaines images ressemblaient beaucoup à l'ensemble de Julia, notamment. Mais J... vient de mettre le doigt sur une vraie bombe (qui n'en est plus un en fait depuis 1988 (voir plus loin), époque où J... commençait à faire des fractales sur un Amiga...).

Quelle est donc cette bombe ?

Cette bombe est une transformation, assez ressemblante de la précédente, mais qui cache dans ses attracteurs une foule de formes qui ont fait l'histoire des mathématiques. Et oui, rien que ça ! Une simple transformation à deux paramètres, qui génére à elle toute seule (avec l'année de découverte et la dimension fractale du machin):

- la courbe de Lévy (1938, dimension 1.93)

- la poussière de Cantor (1883, dimension 0.63)

- le carré de Cantor ( ? , dimension 1.26)

- un triangle qui ressemble au tapis de Sierpinski (1906, dimension 1.89)

- la fractale de Cesaro (1906, dimension 1.78)

- la courbe de Von Koch (1906, dimension 1.26)

- un triangle de Sierpinski rempli,

- et un rectangle fractal obtenu par transformation du triangle précédent.

Et oui, tout ca dans une seule transformation. Mais laquelle, direz-vous ? Deux rotations homothétiques symétriques autour de deux points du plan... c'est tout...

Pour les curieux, tout cela n'est finalement pas étonnant, puisque toute ces courbes ou ces formes géométriques emblématiques appartiennent à la même famille, obtenue dans la théorie des fonctions itérées, proposée en 1981 par John Hutchinson et exploitée pour les fractales en 1988 par Barnsley...

Avant de montrer les images, sachez qu'une vidéo est en préparation où vous pourrez voir toutes ces courbes se transformer l'une en l'autre !

Poussière de Cantor

Carré de Cantor

Courbe de von Koch

Fractale de Césaro

Courbe de Lévy

Triangle ressemblant à un tapis de Sierpinski

Triangle cachant un triangle de Sierpinski

Rectangle obtenu par transformation douce du triangle précédent