Toutes les fractales cachées dans une transformation ?

Publié le 14 Novembre 2010

Décidément, ce qui se voulait être juste un hommage ponctuel à Benoit Mandelbrot commence à prendre l'allure d'une enquête échevelée ! Dans l'article sur les premières images de la double rotation homothétique, on avait vu que certaines formes avaient un air de déjà vu. Certaines images ressemblaient beaucoup à l'ensemble de Julia, notamment. Mais J... vient de mettre le doigt sur une vraie bombe (qui n'en est plus un en fait depuis 1988 (voir plus loin), époque où J... commençait à faire des fractales sur un Amiga...).

 

Quelle est donc cette bombe ?

 

Cette bombe est une transformation, assez ressemblante de la précédente, mais qui cache dans ses attracteurs une foule de formes qui ont fait l'histoire des mathématiques. Et oui, rien que ça ! Une simple transformation à deux paramètres, qui génére à elle toute seule (avec l'année de découverte et la dimension fractale du machin):

- la courbe de Lévy (1938, dimension 1.93)

- la poussière de Cantor (1883, dimension 0.63)

- le carré de Cantor ( ? , dimension 1.26)

- un triangle qui ressemble au tapis de Sierpinski (1906, dimension 1.89)

- la fractale de Cesaro (1906, dimension 1.78)

- la courbe de Von Koch (1906, dimension 1.26)

- un triangle de Sierpinski rempli,

- et un rectangle fractal obtenu par transformation du triangle précédent.

 

Et oui, tout ca dans une seule transformation. Mais laquelle, direz-vous ? Deux rotations homothétiques symétriques autour de deux points du plan... c'est tout...

 

Pour les curieux, tout cela n'est finalement pas étonnant, puisque toute ces courbes ou ces formes géométriques emblématiques appartiennent à la même famille, obtenue dans la théorie des fonctions itérées, proposée en 1981 par John Hutchinson et exploitée pour les fractales en 1988 par Barnsley...

 

Avant de montrer les images, sachez qu'une vidéo est en préparation où vous pourrez voir toutes ces courbes se transformer l'une en l'autre !

 

fractale poussière de Cantor

Poussière de Cantor

 

fractale carré de Cantor

Carré de Cantor

 

fractale courbe de Von Koch

Courbe de von Koch

 

fractale Cesaro

Fractale de Césaro

 

fractale courbe de Levy

Courbe de Lévy

 

fractale type Sierpinski

Triangle ressemblant à un tapis de Sierpinski

 

fractale triangle

Triangle cachant un triangle de Sierpinski

 

fractale rectangulaire

Rectangle obtenu par transformation douce du triangle précédent

Rédigé par J...

Publié dans #logiciels de création

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clovis simard 16/02/2013 14:24

LES DIMENSIONS DE LA CONSCIENCE HUMAINE(fermaton.over-blog.com)